Système d'équations (mathématiques élémentaires)
Dans la vie courante et en sciences, les phénomènes dépendent plus
souvent de plusieurs paramètres que d'un seul. Pour les modéliser, on
utilise en mathématiques les systèmes d'équations à plusieurs inconnues . Une seule équation à plusieurs inconnues a une infinité de solutions.
Exemple : L'équation 
a une infinité de solutions. Si je prends pour 
la valeur 
, j'obtiens :
;
;
;
.
Plus généralement, si est un nombre quelconque, 
doit absolument valoir 
.
Définition
On appelle système d'équations un ensemble 
de plusieurs équations à plusieurs inconnues que l'on doit résoudre en même temps.
Exemple :
est un système de deux équations à deux inconnues.
Résoudre , c'est trouver toutes les valeurs qu'il faut donner à chaque inconnue en même temps pour que toutes les égalités soient vraies.
Le système est linéaire s'il existe des nombres réels 
tels que soit de la forme :
.
Celle-ci va nous permettre d'établir des théorèmes utiles pour la suite.
Chaque équation du système définit une fonction affine, et est donc représentée par une droite dans un repère.Or :
- les coordonnées du point d'intersection des deux droites représentent la solution de ;
- deux droites ont :
- soit un unique point d'intersection ;
- soit aucun point d'intersection ;
- soit une infinité de points d'intersection.
D'où le théorème suivant :
Théorème 1 : Un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues a :
- soit une unique solution ;
- soit aucune solution ;
- soit une infinité de solutions .
On démontre aussi le théorème suivant (en se reportant plus haut pour les notations) :
Théorème 2 : Un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues admet une seule solution si, et seulement si, le nombre 
est non nul, c'est-à-dire :
.
On appelle le déterminant du système (S).
Exemple de résolution graphique : Soit le système : .
La première équation équivaut à 
(voir plus haut).
La deuxième équation équivaut à :
;
;
. En traçant les droites d'équations respectives et 
, on voit que leur point d' intersection est 
.La solution (approximative) du système est 
et 
.
Il existe deux méthodes différentes. Détaillons-les sur un exemple.
Exemple : Reprenons le système : .
Exprimons en fonction de dans la première équation. On obtient . Remplaçons donc par dans la deuxième équation. On a :
;
;
;
;
. Or, . Donc on obtient : 
. La solution du système est le couple 
.
Cette méthode est aussi appelée "méthode par addition" ou "par combinaison linéaire".
Exemple : Reprenons le système : .
Pour éliminer , multiplions la deuxième ligne par 
et additionnons les deux lignes ainsi obtenues. On a : 
puis 
et l'addition donne : 
. En résolvant cette équation, on obtient 
.
Remplaçons par 
dans la première ligne. On obtient :
;
;
;
. On retrouve la solution
Les systèmes de 3 équations à 3 inconnues se résolvent aussi de cette manière :
.
Pour résoudre ce système de 3 équations à 3 inconnues, on isole une
inconnue dans une des équations. Dans ce système, on isole l'inconnue x
dans l'équation [1]
- [1] :
.
Maintenant on remplace l'inconnue 
dans les équations [2] et [3], qui donne un système de 2 équations à 2
inconnues à résoudre avec les méthodes de substitution ou d'addition .
.
Après avoir trouvé 
et 
, on les remplace dans l'équation [1] pour trouver .
- .
Pour résoudre ce système, on peut éliminer
par exemple dans les équations [2] et [3] en les remplaçant par les
équations [2] vaut - 2 × [1] + [2] et [3] vaut [1] + [3]. Le système
est alors équivalent au système
.
Il suffit alors d'éliminer un autre inconnue, par exemple, dans [3'] en la remplaçant par 4 × [3'] + [2']. Le système est alors équivalent au système triangulaire suivant :
L'équation [3"] permet de trouver , qui remplacé dans l'équation [2'] permet de trouver . Ces deux valeurs, remplacées dans l'équation [1] permet de trouver
Cette méthode se généralise à des systèmes comportant davantage
d'équations et davantage d'inconnues et prend le nom de méthode du
pivot de Gauss.